Betrag eines Vektors

Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird.

(5 BE)

Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die \(x_1x_2\)-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt \(M\,(5|6{,}5|3)\) ist Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche \(BSTC\) im Punkt \(W\) berührt.

Berechnen Sie den Radius \(r\) der Kugel sowie die Koordinaten von \(W\,\).

(Teilergebnis: \(r = 1{,}5\))

(6 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(1|7|3)\), \(B\,(6|-7|1)\) und \(C\,(-2|1|-3)\) gegeben.

Weisen Sie nach, dass die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypothenuse die Strecke \([AB]\) ist und dessen kürzere Kathete die Länge 9 hat.

(4 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(10|2|0)\), \(B\,(10|8|0)\), \(C\,(10|4|3)\), \(R\,(2|2|0)\), \(S\,(2|8|0)\) und \(T\,(2|4|3)\) gegeben. Der Körper \(ABCRST\) ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grungfläche \(ABC\), der Deckfläche \(RST\) und rechteckigen Seitenflächen.

(6 BE)

Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt \(G\) und schneidet die Seitenwand \(OPQR\) im Punkt \(S\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(S\) sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand \(OPQR\) einschließt.

(6 BE)

Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell durch die Gerade

\[g\colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R \;,\]

beschrieben wird.

Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand von 20 m zum Hang fliegt.

(3 BE)

Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt \(M\) aus parallel zur Kante \([CB]\) auf einer Geraden \(g\). Geben Sie eine Gleichung von \(g\) an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt.

(5 BE)

Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten \([CA]\) und \([CB]\) einschließen.

(3 BE)

Das Rechteck \(OABC\) ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive \(x_1\)-Achse beschreibt die südliche, die positive \(x_2\)-Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d.h. die Länge des Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 60 m.).

Obwohl das Rechteck \(OABC\) den Flächeninhalt 6000 besitzt, ist das Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe von 4800 m² verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus Aufgabe b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.

(3 BE)

Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung.

Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen Verankerungspunkts \(V_O\) bzw. \(V_N\).

(5 BE)

Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d.h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch.

Das Rechteck \(GHKL\) mit \(G\,(2|4|2)\) hat die Breite \(\overline{GL} = 1\,\). Es liegt in der Ebene \(E\), die Punkte \(H\) und \(K\) liegen auf der Geraden \(CD\,\). Das Rechteck stellt im Modell ein Dachfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden.

Geben Sie die Koordinaten der Punkte \(L\), \(H\) und \(K\) an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters.

(zur Kontrolle: \(\overline{GH} = \sqrt{5}\))

(5 BE)

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\).

(2 BE)

Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massivem Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen eines Spats sind Parallelogramme.

In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat \(ABCDPQRS\) mit \(A\,(28|0|0)\), \(B\,(28|10|0)\), \(D\,(20|0|6)\) und \(P\,(0|0|0)\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche \(ABQP\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 0,1 m, d.h. der Grundkörper ist 0,6 m hoch.

Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(C\) an und zeigen Sie, dass die Seitenfläche \(ABCD\) ein Quadrat ist.

(5 BE)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche \(ABCD\) gegen die \(x_1x_2\)-Ebene geneigt ist.

(3 BE)

Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t. Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers.

(3 BE)

Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt \(H\,(11|3|6)\) der Deckfläche \(DCRS\) aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von 1,4 m so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt.

Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden \(h\), entlang derer die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet.

(zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von \(h\): \(\displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\))

(7 BE)

Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem Radius von 0,8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats im Punkt \(K\). Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von \(K\) bekannt wären.

(4 BE)

An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, deren Eckpunkte die Spitze \(S\) sowie die Mittelpunkte der Kanten \([SB]\) und \([SC]\) sind.

Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.

(4 BE)

Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab. Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe des Neigungswinkels an. Schätzen Sie diesen Anteil für die Solarmodule des Pavillons - nach Berechnung des Neigungswinkels - unter Verwendung der Tabelle ab.

(4 BE)

Zwei Punkte \(U\) und \(V\) der Geraden \(h\) bilden zusammen mit \(P\) und \(Q\) das Rechteck \(PUQV\). Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten von \(U\) und \(V\).

(4 BE)