Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\))

(3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\))

(3 BE)

Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(4 BE)

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\), \(K_{2}(0|0|0)\), \(K_{3}(3|0|0)\) und \(K_{4}(3|4|0)\) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten \(S_{1}(0|6|2{,}5)\), \(S_{2}(0|0|3)\) und \(S_{3}(6|0|2{,}5)\) dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abb. 1

Die Punkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) legen die Ebene \(E\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0\))

(4 BE)

Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene \(E\) und die untere Begrenzungsfläche in einer zu \(E\) parallelen Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) enthält den Punkt \(Q\). Die Strecke \([PQ]\) steht senkrecht auf der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\))

(2 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\))

(3 BE)

Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet - mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle.

Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))

(5 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\))

(3 BE)

Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\))

(4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\))

(6 BE) 

Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\).
Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\).

Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\))

(4 BE) 

Das Dreieck \(ABC\) aus Aufgabe \(a\) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\).

Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)

(3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(BSTC\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\))

(4 BE)

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck \(ABCD\) liegt in einer Ebene \(E\) und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

Abb. 1

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon x_2 + 2x_3 - 8 = 0\))

(4 BE)

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\).

(2 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(0|60|0), B\,(-80|60|60)\) und \(C\,(-80|0|60)\) gegeben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A, B\) und \(C\) bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat \(E\,\)? Berechnen Sie die Größe des Winkels \(\varphi\), unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet.

(mögliche Teilergebnisse: \(E\colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0; \enspace \varphi \approx 36{,}9^\circ\))

(8 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(ABCD\) liegt in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\;\colon \, 3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\))

(3 BE)

Die südliche Außenwand des Pavillons liegt im Modell in einer Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\;\colon\, 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)) 

(4 BE)