Mathematik Abitur Bayern 2013

Abb. 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) der Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \([-2;2]\). Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte \((-1|0)\) bzw. \((1|0)\) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in \([-2;2]\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon \mapsto \int_0^x f(t)\,dt\).

Geben Sie \(F(0)\), \(F(2)\) und \(F(-2)\) an.

(3 BE)

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R \backslash \{-1\} \).

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abb. 2

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von \(G_f\) an und zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.

(6 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\,\).

(8 BE)

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_f\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(Teilergebnis: \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{8}{x}\))

(6 BE)

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

(8 BE)

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts \(S\) von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm.

Die bisher betrachtete Funktion \(f\) gibt für \(0 \leq x \leq 15\) die Höhe von \(S\) über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist \(x\) die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3).

Abb. 3

Berechnen Sie \(f(0)\) und \(f(15)\). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts \(S\) während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass \(x\)-Koordinate und \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts von \(G_f\) übereinstimmen?

(3 BE)

Für welche Füllhöhen \(x\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.

(6 BE)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der Spender die Blutgruppe \(0\) und den Rhesusfaktor \(Rh+\) besitzt.

(3 BE)

Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung vor. Wird diese Störung frühzeitig erkannt, lässt sich durch eine geeignete Behandlung eine spätere Erkrankung vermeiden. Zur Früherkennung kann zunächst ein einfacher Test durchgeführt werden. Zeigt das Ergebnis des Tests die Stoffwechselstörung an, so bezeichnet man es als positiv.

Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv. Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %.

Bei einem zufällig ausgewählten neugeborenen Kind wird der Test durchgeführt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(S\): „Die Stoffwechselstörung liegt vor."

\(T\): „Das Testergebnis ist positiv."

Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{S \cup T}\) im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(T)\) und \(P_T(S)\). Interpretieren Sie das Ergebnis für \(P_T(S)\) im Sachzusammenhang.

(zur Kontrolle: \(P(T) \approx 0{,}85\,\%\), \(P_T(S) < 0{,}1\))

(8 BE)

Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million getesteter KInder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

(3 BE)

Um Geld für die Ausstattung des Spielbereichs in der Kinderstation des Krankenhauses einzunehmen, wird ein Gewinnspiel angeboten. Nachdem der Spieler zwei Euro bezahlt hat, werden aus einem Behälter, in dem sich drei rote, drei grüne und drei blaue Kugeln befinden, drei Kugeln ohne Zurücklegen zufällig entnommen. Haben die drei entnommenen Kugeln die gleiche Farbe, so gewinnt der Spieler und bekommt einen bestimmten Geldbetrag ausgezahlt; ansonsten verliert er und erhält keine Auszahlung. Anschließend werden die gezogenen Kugeln in den Behälter zurückgelegt.

Zeigen Sie, dass bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn \(\frac{1}{28}\) beträgt.

(2 BE)

Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann.

(4 BE)

In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. 12 % der Wahlberechtigten sind Jungwähler, d.h. Personen im Alter von 18 bis 24 Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich 44 % der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden. Jeder Siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten entschieden haben, ist Jungwähler.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(J\): „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler."

\(K\): „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden."

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

(4 BE)

Zeigen Sie, dass \(P_J(\overline{K}) > P_{\overline{J}}(\overline{K})\) gilt.

Begründen Sie, dass es trotz der Gültigkeit dieser Ungleichung nicht sinnvoll ist, sich im Wahlkampf vorwiegend auf die Jungwähler zu konzentrieren.

(4 BE)

Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs 48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau sechs Jungwähler befinden. 

(3 BE)

Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen. 

(3 BE)

Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen. Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid als Ausschussmitglieder bestimmt.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) mit \(P(X = 0) = \frac{1}{55}\) und \(P(X = 3) = \frac{14}{55}\).

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 1)\) und \(P(X = 2)\).

(Ergebnis: \(P(X = 1) = \frac{12}{55}\), \(P(X = 2) = \frac{28}{55}\))

(4 BE)