Spezielle Eigenschaften von Funktionen: Grenzwerte bestimmen, beschreiben und graphisch interpretieren, Verschieben von Funktionsgraphen, Stauchen von Funktionsgraphen
Stetigkeit von Funktionen: Stetigkeit anhand eines Graphen beurteilen, Stetigkeit als Bedingung anwenden, Stetigkeit nachweisen
Gebrochenrationale Funktion: Maximale Definitionsmenge angeben, Funktionsgraph zuordnen und begründen, Funktionsterm zuordnen
Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion: Nullstelle, Polstellen, Verhalten an den Definitionslücken, schräge / waagrechte Asymptoten, Funktionsgraph skizzieren
Gebrochenrationale Funktion: Anhand eines zu bestimmenden Grenzwerts auf die besondere Eigenschaft der Funktion schließen
Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische (Un)Abhängigkeit: Bedingte Wahrscheinlichkeit erkennen, verwenden und berechnen, Vierfeldertafel anwenden (optional), Zwei Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen
Geben Sie einen Term einer gebrochen-rationalen Funktion an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion \(h\) ist in \(\mathbb R\) definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\).
(3 BE)
Gegeben ist die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{4}{x}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(g\).
Abb. 1
Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^e g(x)dx\).
(2 BE)
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{(x - 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\).
Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an.
Der Graph \(G_f\) der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\) besitzt nur an der Stelle \(x = 3\) eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung 2).
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x) = f\left(f(x)\right)\).
Abb. 2
Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(f(6)\) und \(g(6)\) an.
Gemäß der Kettenregel gilt \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\). Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung 2 alle Stellen, an denen der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente besitzt.
Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).
Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.
(1 BE)
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.
(4 BE)
Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\).
Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an.
Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.
Betrachtet werden die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(F\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_F\) von \(F\).
Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\).
Auf der Gerade durch \(P\) und \(Q\) liegen die Punkte \(R\) und \(S\) symmetrisch bezüglich \(E\); dabei liegt \(R\) bezüglich \(E\) auf der Seite wie \(P\). Der Abstand von \(R\) und \(S\) ist doppelt so groß wie der Abstand von \(P\) und \(Q\).
Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\).
Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{(2x - 3)}\) mit Definitionsmenge \(D_h = \; ]\frac{3}{2};+\infty[\). Geben Sie die Nullstelle von \(h\) sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(h\) an.
Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) besitzt die Nullstelle \(x = 2\), außerdem gilt \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).
Betrachtet wird die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln{\left( f(x) \right)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\). Geben Sie \(D_g\) an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle \(x\), für die \(g'(x) = f'(x)\) gilt.
Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\):
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 4)\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(X = 10)\) übereinstimmt.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von \(X\) und \(Y\) werden jeweils durch eines der folgenden Diagramme I, II und III dargestellt. Ordnen Sie \(X\) und \(Y\) jeweils dem passenden Diagramm zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.
Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels, von dem nur drei Seiten beschriftet sind.
Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird.
Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\).
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.
Gegeben ist die Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(M(3|-6|5)\) und Radius \(2\sqrt{6}\).
Geben Sie eine Gleichung von \(K\) in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt.
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