Geometrie 2

Es gibt genau eine Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kugel.

(4 BE)

Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

(3 BE)

Auf der Gerade durch \(P\) und \(Q\) liegen die Punkte \(R\) und \(S\) symmetrisch bezüglich \(E\); dabei liegt \(R\) bezüglich \(E\) auf der Seite wie \(P\). Der Abstand von \(R\) und \(S\) ist doppelt so groß wie der Abstand von \(P\) und \(Q\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\).

(2 BE)

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken \([AB]\), \([BC]\) und \([CD]\) mit \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\) und \(D(-11|-11|0)\) besteht (vgl. Abbildung 2). \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Begründen Sie, dass die Punkte \(B\) und \(C\) symmetrisch bezüglich der \(x_3\)-Achse liegen.

(2 BE)

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

(3 BE)

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\))

(4 BE)

Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann.

(5 BE)

Die Ebene \(E\) teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen.

(3 BE)

Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibet. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

(4 BE)

Der Punkt \((0|0|h)\) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken \([AB]\), \([BC]\) und \([CD]\) den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\):

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von \(h\) zugrunde liegen.

(4 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(3|5|5)\) und \(B(1|1|1)\) sowie die Geraden \(g\) und \(h\), die sich in \(B\) schneiden. Die Gerade \(g\) hat den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), die Gerade \(h\) den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Weisen Sie nach, dass \(A\) auf \(g\) liegt.

(1 BE) 

Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte \(C\) und \(D\) so, dass \(C\) auf \(h\) liegt und das Viereck \(ABCD\) eine Raute ist.

(4 BE) 

Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\).
Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\).

Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\))

(4 BE) 

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.

(3 BE) 

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) kann mit dem Term \(6 \cdot 6 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\) berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

(3 BE) 

Berechnen Sie das Volumen des Körpers \(ABCDEF\).

(3 BE) 

Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es Bereiche \(]a;b[\), für die jeweils gilt, dass \(N_k\) für alle Werte von \(k \in \; ]a;b[\) die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an.

(4 BE) 

Auf der Kante \([AD]\) liegt der Punkt \(Q\), auf der Kante \([BE]\) der Punkt \(R(0|6|2)\). Das Dreieck \(FQR\) hat in \(Q\) einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die \(x_3\)-Koordinate von \(Q\).

(5 BE) 

Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Drehung:

\(\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \; \Leftrightarrow \; \lambda = 0{,}8\), d. h. \(S(4{,}8|3{,}6|0)\)

\(\overrightarrow{T} = \overrightarrow{S} + \vert \overrightarrow{CS} \vert \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von \(S\) an.

(3 BE)