Binomialverteilung

Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0" erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „0", so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine „0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält.

(2 BE) 

Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass bei einem Versuch mit 400 Pflanzen der Wert der Zufallsgröße \(X_{400}\) um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, die kleinst- und die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.

(4 BE)

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von \(n\), für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt.

(4 BE)

(3 BE) 

In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw betrug rund 1,2 %. Bestimmen Sie die Anzahl der Pkw, die aus diesem Gesamtbestand mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 97 % mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist.

(5 BE) 

Zehn 40- bis 44-jährige Frauen wurden zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(A\,\colon\;\)„Unter ihnen sind genau drei Raucherinnen."

\(B\,\colon\;\)„Unter ihnen sind höchstens vier Raucherinnen." 

(4 BE)

Mithilfe der Graphologie werden aus der Handschrift einer Person Rückschlüsse auf deren Persönlichkeit gezogen.

An einer Fachschule für Graphologie ist eine Dozentenstelle neu zu besetzen. Den Bewerbern sollen im Rahmen eines Vortests Schriftproben vorgelegt werden. Jede Schriftprobe stammt entweder von einer entscheidungsfreudigen oder von einer zögerlichen Person; dies soll dem jeweiligen Bewerber mitgeteilt werden, der sich anschließend bei jeder Schriftprobe entscheiden muss, ob er sie einer entscheidungsfreudigen oder einer zögerlichen Person zuordnet. Ein Bewerber soll den Vortest bestehen, wenn er sich bei mehr als zwei Dritteln der vorgelegten Schriftproben richtig entscheidet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber, der nur rät, den Vortest besteht, wenn man ihm zwölf Schriftproben vorlegen würde.

(5 BE)

Nach einer aktuellen Erhebung leiden 25 % der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden \(n\) Personen zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie, wie groß \(n\) mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.

(4 BE)

Ermitteln Sie auf fünf Prozent genau, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.

(3 BE)

Ein Unternehmen lässt im Rahmen von Bewerbungsverfahren graphologische Gutachten zu den Personen erstellen, die sich um eine Stelle bewerben. Im Mittel werden 25 % der Bewerber aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgewiesen. Für eine Stelle bewerben sich 20 Personen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen Bewerber, die aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgelehnt werden, kleiner als die dafür im Mittel zu erwartende Anzahl ist.

(3 BE)

Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) angegeben wird.

(2 BE)

Der Studie zufolge besitzen 55 % der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät.

Geben Sie den Wert der Summe \(\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\) in Prozent an. Begründen Sie, dass der Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den 25 Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzen.

(3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.

(3 BE)

Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

(3 BE)

Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. 20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

(5 BE)

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießanlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) beschrieben.

Geben Sie für die folgenden Ereignisse \(A\) und \(B\) jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von \(p\) beschreibt.

\(A\): „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen."

\(B\): „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen."

(3 BE)

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen." berechnet werden kann. 

(2 BE)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

α) \(\displaystyle 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^{8}\)

β) \(\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{8} + 8 \cdot \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{7}\)

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\sf{\frac{1}{9}}\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

(4 BE)

Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt" sitzen 30 Senioren im Publikum.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen.

(3 BE)