Stammfunktion

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = x^2 \cdot e^x\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Geben eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion \(G\) von \(f\) an, für die \(G(1) = 2e\) gilt.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abb. 2

Beschreiben Sie für \(a \leq x \leq b\) den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

(2 BE)

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

(3 BE)

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x = 10\) und \(x = s\) mit \(s > 10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimmen Sie \(A(s)\).

(Ergebnis: \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\))

(5 BE)

Die erste Ableitung von \(h\) ist \(h'\).

Bestimmen Sie den Wert von \(\displaystyle \int _{0}^{1}h'(x)\,dx\). 

(2 BE)

Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für \(0 \leq t \leq 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

(3 BE)

Berechnen Sie \(\displaystyle \int_{2}^{4} g(t)\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5)

(4 BE)

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt.

(2 BE)

Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\).

Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an.

(1 BE)

Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\).

Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an.

(1 BE)

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle F(b) = \int_{3}^{b} f(x) \, dx\) mit \(b \in \mathbb R\) gilt.

(2 BE)

Die als Kurvenlänge \(L_{a;b}\) bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von \(f\) zwischen den Punkten \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\) mit \(a < b\) lässt sich mithilfe der Formel \(\displaystyle L_{a;b} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \, dx\) berechnen.

Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge \(L_{0;b}\) des Graphen von \(f\) zwischen den Punkten \((0|f(0))\) und \((b|f(b))\) mit \(b > 0\).

(Ergebnis: \(L_{0;b} = e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b}\))

(4 BE)

Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ \(k \colon x \mapsto 5 \cdot \cos(c \cdot x)\) mit \(c \in \mathbb R\) und Definitionsbereich \(D_{k} = [-5;5]\), bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie \(c\) so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels.

(zur Kontrolle: \(c = \frac{\pi}{10}\), Inhalt der Querschnittfläche: \(\frac{100}{\pi}\) m²)

(5 BE)

Zusätzlich ist die Funktion \(F\) mit \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}\) und \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Zeigen Sie, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und begründen Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) = 0\) gilt.

(3 BE)

Der Graph von \(F\) verläuft durch den Punkt \((\ln 2|0{,}5)\). Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(F\) keine größeren Werte als \(0{,}5\) annehmen kann und bei \(x = \ln 4\) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts.

(5 BE)

Der Graph von \(f\) schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten \(O(0|0)\), \(P(\ln 2|0)\) und \(Q(0|2)\) angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks \(OPQ\) vom Inhalt des Flächenstücks abweicht.

(4 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(F_{0}\) mit \(F_{0}(x) = \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) und \(x \in \mathbb R\).

Begründen Sie, dass \(F_{0}\) mit der betrachteten Stammfunktion \(F\) von \(f\) übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert \(F_{0}(2) \approx 0{,}234\) mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.

(4 BE)

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von \(f\) ist.

(2 BE)