Mathematik Abitur Bayern 2016

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.

\(A\): „Anna und Tobias gehören dem Team an."

\(B\): „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen."

(3 BE)

Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

(3 BE)

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl \((Z)\) oder zum zweiten Mal Wappen \((W)\) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: \(\{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW\}\).

Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

(2 BE)

Durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft die Gerade \(g\).

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I  Jede dieser Geraden schneidet die Gerade \(g\) orhogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt \(A\) beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(-2|1|4)\) und \(B(-4|0|6)\)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\) so, dass gilt: \(\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}\).

(2 BE)

Der Punkt \(P\) liegt auf der Kante \([FB]\) des Würfels und hat vom Punkt \(H\) den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts \(P\).

(3 BE)

Betrachtet wird der abgebildete Würfel \(ABCDEFGH\).

Die Eckpunkte \(D\), \(E\), \(F\) und \(H\) dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: \(D(0|0|-2)\), \(E(2|0|0)\), F(2|2|0) und \(H(0|0|0)\).

Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(A\) an.

(2 BE)

Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen symmetrisch zu einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\).

(3 BE)

Gegeben sind die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\) sowie die Punkte \(P(1|0|2)\) und \(Q(5|2|6)\).

Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q\) senkrecht zur Ebene \(E\) verläuft.

(2 BE)

Durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft die Gerade \(g\).

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

I  Jede dieser Geraden schneidet die Gerade \(g\) orhogonal.

II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt \(A\) beträgt 3.

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte \(A(-2|1|4)\) und \(B(-4|0|6)\)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\) so, dass gilt: \(\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}\).

(2 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse und begründen Sie, dass \(G_{f}\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

(2 BE)

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to - \infty\) und für \(x \to +\infty\).

(3 BE)

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) die Beziehung \(f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\) für \(x \in \mathbb R\) gilt. Weisen Sie nach, dass \(G_{f}\) linksgekrümmt ist.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right)\))

(4 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(3 BE)

Berechnen Sie die Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|f(2))\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt \(P\) und die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(-4 \leq x \leq 4\), \(-1 \leq y \leq 9\)).

(3 BE)

Berechnen Sie \(f(4)\), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.

(4 BE)

Die als Kurvenlänge \(L_{a;b}\) bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von \(f\) zwischen den Punkten \((a|f(a))\) und \((b|f(b))\) mit \(a < b\) lässt sich mithilfe der Formel \(\displaystyle L_{a;b} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \, dx\) berechnen.

Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge \(L_{0;b}\) des Graphen von \(f\) zwischen den Punkten \((0|f(0))\) und \((b|f(b))\) mit \(b > 0\).

(Ergebnis: \(L_{0;b} = e^{\frac{1}{2}b} - e^{-\frac{1}{2}b}\))

(4 BE)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in \mathbb R\) die Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) gilt.

(3 BE)

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph \(G_{f}\) aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich \(-4 \leq x \leq 4\) modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte \(F_{1}\) und \(F_{2}\) der Masten durch die Punkte \((-4|0)\) bzw. \((4|0)\) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und den tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.

(2 BE)