Mathematik Abitur Bayern 2018

Die Funktion \(E\) mit \(E(x) = 23x\) gibt für \(0 \leq x \leq 9\) den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von \(x\) Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion \(G\) gilt \(G(x) = E(x) - K(x)\). Positive Werte von \(G\) werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

(2 BE)

Zeichnen Sie den Graphen von \(E\) in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

(3 BE)

Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

(5 BE)

Auf einem Abschnitt einer wenig befahrenen Landstraße ist eine Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h zugelassen. An einer Stelle dieses Abschnitts wird die Geschwindigkeit vorbeifahrender Pkw gemessen. Im Folgenden werden vereinfachend nur solche Fahrten betrachtet, bei denen die Fahrer die Geschwindigkeit unabhängig voneinander wählen konnten.

Für die ersten 200 erfassten Fahrten ergab sich nach Einteilung in Geschwindigkeitsklassen die folgende Verteilung:

Bei 62 % der 200 Fahrten war der Fahrer allein unterwegs, 65 dieser Alleinfahrer fuhren zu schnell. Aus den 200 Fahrten wird eine zufällig ausgewählt. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:

\(A\):  „Der Fahrer war allein unterwegs."

\(S\):  „Der Pkw war zu schnell."

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(A\) und \(S\) stochastisch abhängig sind, und geben Sie hierfür einen möglichen Grund im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

Die Geschwindigkeitsmessungen werden über einen längeren Zeitraum fortgesetzt. Dabei zeigt sich, dass die Verteilung der auf km/h genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht \(B(100; 0{,}8; 77)\) näherungsweise dem Anteil der mit einer Geschwindigkeit von 77 km/h erfassten Pkw.

Bestätigen Sie exemplarisch für eine der beiden mittleren Geschwindigkeitsklassen der oben dargestellten Stichprobe, dass die ermittelte Anzahl der Fahrten mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung im Einklang steht.

(4 BE)

Bestimmen Sie unter Verwendung dieser Binomialverteilung die kleinste Geschwindigkeit \(v^{*}\), für die die folgende Aussage zutrifft: „Bei mehr als 95 % der erfassten Fahrten wird \(v^{*}\) nicht überschritten."

(2 BE)

Die Polizei führt an der Messstelle eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Bei einer Geschwindigkeit von mehr als 83 km/h liegt ein Tempoverstoß vor. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von 19 % größer als 83 km/h ist.

Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.

(4 BE)

Liegt in einer Stichprobe von 50 Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist.

(5 BE)

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

\(A\):  „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."

\(B\):  „Mindestens 6 % der Teile sind fehlerhaft."

(3 BE)

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.

Bestimmen sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(4 BE)

Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größe der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist \(\frac{1}{6}\). Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls \(\frac{1}{6}\) beträgt.

(2 BE)

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

(3 BE)

Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.

Bestimmen Sie die Größe des zum grünen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.

(5 BE)

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\), \(K_{2}(0|0|0)\), \(K_{3}(3|0|0)\) und \(K_{4}(3|4|0)\) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten \(S_{1}(0|6|2{,}5)\), \(S_{2}(0|0|3)\) und \(S_{3}(6|0|2{,}5)\) dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abb. 1

Die Punkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) legen die Ebene \(E\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0\))

(4 BE)

Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als 20 m² durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteilen Sie, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist

(3 BE)

Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}K_{1}}\) dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit \(S_{2}\) bzw. \(S_{3}\) bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit \({S_{2}}'\) bzw. \(S_{3}'\) bezeichnet.

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \({S_{2}}'\) auf der \(x_{2}\)-Achse liegt.

(2 BE)

\({S_{3}}'\) hat die Koordinaten \((6|-2|0)\). Zeichnen Sie das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheiden Sie anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist.

(3 BE)

Um das Abfließen des Regenwassers sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens 8° gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründen Sie, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.

(3 BE)

Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von 50 cm. An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche 5 cm tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).

Abb. 2

Das Volumen \(V\) eines Kugelsegments kann mit der Formel \(V = \frac{1}{3} \pi h^{2} \cdot (3r - h)\) berechnet werden, wobei \(r\) den Radius der Kugel und \(h\) die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermitteln Sie, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden.

(zur Kontrolle: \(r = 65\;\sf{cm}\))

(5 BE)