Mathematik Abitur Bayern 2022

Gegeben ist die Kugel \(K\) mit Mittelpunkt \(M(3|-6|5)\) und Radius \(2\sqrt{6}\).

Geben Sie eine Gleichung von \(K\) in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt.

(3 BE)

Untersuchen Sie, ob \(K\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet.

(2 BE)

Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

(3 BE)

Auf der Gerade durch \(P\) und \(Q\) liegen die Punkte \(R\) und \(S\) symmetrisch bezüglich \(E\); dabei liegt \(R\) bezüglich \(E\) auf der Seite wie \(P\). Der Abstand von \(R\) und \(S\) ist doppelt so groß wie der Abstand von \(P\) und \(Q\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\).

(2 BE)

Gegeben ist die in \([0;10]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{10x -x^2}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\).

(zur Kontrolle: \(0\) und \(10\))

(2 BE)

Der Graph \(G_f\) besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\))

(5 BE)

Der Graph \(G_f\) ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion \(f''\) von \(f\). Beurteilen Sie, ob dies Term I oder Term II ist, ohne einen Term von \(\boldsymbol{f''}\) zu berechnen.

(3 BE)

Weisen Sie nach, dass für \(0 \leq x \leq 5\) die Gleichung \(f(5 - x) = f(5 + x)\) erfüllt ist, indem Sie die Terme \(f(5 - x)\) und \(f(5 + x)\) geeignet umformen. Begründen Sie damit, dass der Graph \(G_f\) symmetrisch bezüglich der Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) ist.

(5 BE)

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

(4 BE)

Geben Sie \(f(8)\) an und zeichnen Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

(4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an \(G_f\) im Punkt \((2|f(2))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

(2 BE)

Von den Eckpunkten des Rechtecks \(ABCD\) liegen der Punkt \(A(s|0)\) mit \(s \in \;]0;5[\) sowie der Punkt \(B\) auf der \(x\)-Achse, die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(G_f\). Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen.

(5 BE)

Der Graph \(G_f\) verläuft durch den Punkt \((3{,}6|9{,}6)\). Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Berechnen Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist.

(5 BE)

Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}25t - 25\) mit \(0 \leq t \leq 100\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist \(t\) die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und \(g(t)\) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.

Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt.

(4 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Abb. 1

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

(4 BE) 

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\))

(2 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

(5 BE)

Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\).

(3 BE)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt

\[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\]

(3 BE)