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Mathematik Abitur Bayern 2022

  • Die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) hat die Parameter \(n = 8\) und \(p_Y = 1 - p_X\). Kennzeichnen Sie in Abbildung 2 eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit \(P(Y \geq 6)\) darstellt.

    (2 BE)

  • Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

    Bestimmen Sie die Länge der Strecke \([PQ]\). Zeigen Sie, dass das Dreieck \(PQR\) bei \(R\) rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke \([PQ]\) Durchmesser des Umkreises des Dreiecks \(PQR\) ist.

    (zur Kontrolle: \(\overline{PQ} = 3\sqrt{2}\))

    (4 BE)

  • Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt.

    (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\))

    (5 BE)

  • Begründen Sie ohne Rechnung, dass \(g\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt.

    (1 BE)

  • In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade \(g\) die Uferlinie. Die Ebene \(E\) stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der Wasseroberfläche an der Stelle, die dem Koordinatenursprung \(O\) entspricht (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität.

    Abbildung Geometrie 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022

    Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt.

    (3 BE)

  • Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.

    Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der Uferlinie aus zur Boje. Ermitteln Sie die Länge dieser Strecke.

    (4 BE)

  • Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt \(K\) dargestellt wird.

    Bestimmen Sie rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht.

    (5 BE)

  • Drei kleine farbenfrohe Seesterne befinden sich am Meeresboden und werden im Modell durch die Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) dargestellt. Der Fotograf bewegt sich für seine Aufnahmen von der Stelle aus, die im Modell durch den Punkt \(K\) beschrieben wird, parallel zum Meeresboden und hat ein kegelförmiges Sichtfeld mit einem Öffnungswinkel von 90° (vgl. Abbildung).

    Beurteilen Sie, ob der Fotograf auf diese Weise eine Stelle erreichen kann, an der er alle drei Seesterne gleichzeitig im Sichtfeld der Kamera sehen kann.

    (3 BE)

  • Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken \([AB]\), \([BC]\) und \([CD]\) mit \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\) und \(D(-11|-11|0)\) besteht (vgl. Abbildung 2). \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

     

    Abbildung 1 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 1

    Abbildung 2 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 2

     

    Begründen Sie, dass die Punkte \(B\) und \(C\) symmetrisch bezüglich der \(x_3\)-Achse liegen.

    (2 BE)

  • Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

    (3 BE)

  • Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\).

    Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

    (zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\))

    (4 BE)

  • Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann.

    (5 BE)

  • Die Ebene \(E\) teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen.

    (3 BE)

  • Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

     

    Abbildung 3 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

    Abbildung 4 Geometrie 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 4

     

    Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibet. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

    (4 BE)

  • Der Punkt \((0|0|h)\) liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken \([AB]\), \([BC]\) und \([CD]\) den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\):

    \[\textsf{I}\quad \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \; t \in [0;1]\]

    \[\textsf{II}\quad \overrightarrow{PQ} \circ \overrightarrow{AB} = 0\]

    \[\textsf{III}\quad \overline{PQ} = 28 - h\]

    Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von \(h\) zugrunde liegen.

    (4 BE)

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Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

 2023 Christian Rieger・mathelike