mathelike mathelike

Funktionenschar

  • Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

    I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

    II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

    Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

    Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 2

    Abbildung 3 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 3

    Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.

    Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

    (3 BE)

  • Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt.

    (3 BE)

  • Für jeden positiven Wert von \(a\) bilden der Hochpunkt \((v|f_a(v))\) des Graphen von \(f_a\), der Punkt \(\left(0|\frac{2}{v}\right)\), der Koordinatenursprung und der Punkt \((v|0)\) die Eckpunkt eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von \(a\), für den das Viereck den Flächeninhalt 49 hat.

    (6 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion  \(f \colon x \mapsto -x^2 + 2ax\) mit \(a \in \; ]1;+\infty[\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(2a\).

    Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, den Inhalt \(\frac{4}{3}a^3\) hat.

    (2 BE) 

  • Der Hochpunkt des Graphen von \(f\) liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von \(a\).

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 1

    (3 BE) 

  • Betrachtet werden für \(k \in \mathbb R\) die in \(]-\infty;0]\) definierten Funktionen \(f_k \colon x \mapsto f(x) + k\). Somit gilt \(f_0(x) = f(x)\), wobei sich \(f_0\) und \(f\) im Definitionsbereich unterscheiden.

    Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von \(\boldsymbol{f_k}\), dass \(f_k\) für jeden Wert von \(k\) umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von \(f_0\).

    (4 BE) 

  • Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_k\) mit \(h_k(x) = (x - 3)^k + 1\) und \(k \in \{1;2;3;\dots\}\).

    Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) das Verhalten von \(h_k\) für \(x \to -\infty\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

    (3 BE) 

  • Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

    (3 BE) 

  • Die erste Ableitungsfunktion von \(h_k\) wird mit \(h'_k\) bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

    Es gibt genau einen Wert von \(k\), für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist.

    (6 BE) 

  • Die Graphen von \(h_k\) und \(h'_k\) werden in der Abbildung 3 für \(k = 4\) beispielhaft für gerade Werte von \(k\) gezeigt, in der Abbildung 4 für \(k = 5\) beispielhaft für ungerade Werte von \(k\). Für \(k \geq 4\) werden die Punkte \(P(4|h_k(4))\), \(Q(4|h'_k(4))\), \(R(2|h_k(2))\) und \(S(2|h'_k(2))\) betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

    Abbildung 3 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 3

    Abbildung 4 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 4

    Begründen Sie dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

    Für jeden geraden Wert von \(k\) mit \(k \geq 4\) stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für \(k\) und der Flächeninhalt des Trapezes für \(k + 1\) überein.

    (7 BE) 

  • Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_a : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x\) mit \(a \in \mathbb R^+\) und Definitionsmenge \(\mathbb R\).

     

    Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die \(y\)-Achse im selben Punkt schneiden und in \(\mathbb R\) streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = -\infty\) gilt.

    (5 BE)

  • Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_c \colon x \mapsto f(x) + c\) mit \(c \in \mathbb R\) betrachtet.

    Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von \(g_c\) sowie das Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\) an.

    (2 BE)

  • Die Anzahl der Nullstellen von \(g_c\) hängt von \(c\) ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von \(c\) an, sodass gilt:

    α) \(g_c\) hat keine Nullstelle.

    β) \(g_c\) hat genau eine Nullstelle.

    γ) \(g_c\) hat genau zwei Nullstellen.

    (3 BE)

Seite 3 von 3

mathelike

Mathematik Abiturvorbereitung Bayern

 2023 Christian Rieger・mathelike