Prüfungsteil B

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken \([AB]\), \([BC]\) und \([CD]\) mit \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\) und \(D(-11|-11|0)\) besteht (vgl. Abbildung 2). \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Begründen Sie, dass die Punkte \(B\) und \(C\) symmetrisch bezüglich der \(x_3\)-Achse liegen.

(2 BE)

Die in \(\mathbb R_{0}^{+}\) definierte Funktion \(A \colon x \mapsto \dfrac{8}{f(x)}\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und \(A(x)\) der Flächeninhalt in Quadratmetern.

Bestimmen Sie \(A(0)\) sowie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) und geben Sie jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion \(\mathbf{f}\), dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.

(5 BE)

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion \(f\) die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(s\) mit \(s(x) = \left( \frac{x}{4} \right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2\) von Bedeutung.

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion \(s\) angegeben werden.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(4 BE) 

Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.

(2 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.

(3 BE)

Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes 1,80 m. das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz.

(3 BE)

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 2.

(3 BE) 

Bestimmen Sie, wie groß \(n\) mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, größer als 90 % ist.

 (3 BE)

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

(7 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(5 BE)

Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat.

(4 BE)

Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.

Abb. 1

Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die \(x\)-Achse die untere Begrenzung und die \(y\)-Achse die Symmetrieachse der betrachteten Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich \(-2 \leq x \leq 2\). Die Profillinie der Abfahrt wird für \(2 \leq x \leq 8\) durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion f beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Abb. 2

Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts \(f(2)\) im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion \(q\) an, deren Graph \(G_{q}\) für \(-8 \leq x \leq -2\) die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt. 

(2 BE)

Berechnen Sie die Stelle \(x_{m}\) im Intervall \([2;8]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.

(5 BE)

Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert \(x_{m}\) könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.

(3 BE)

Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE) 

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat.

(2 BE)

Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

(7 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten.

Begründen Sie, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.

(4 BE)