Prüfungsteil B

Der Graph \(G_f\) besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\))

(5 BE)

Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\).
Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\).

Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\))

(4 BE) 

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von \(n\), für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt.

(4 BE)

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

(4 BE)

Geben Sie \(f(8)\) an und zeichnen Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

(4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an \(G_f\) im Punkt \((2|f(2))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

(2 BE)

Von den Eckpunkten des Rechtecks \(ABCD\) liegen der Punkt \(A(s|0)\) mit \(s \in \;]0;5[\) sowie der Punkt \(B\) auf der \(x\)-Achse, die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(G_f\). Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen.

(5 BE)

Der Graph \(G_f\) verläuft durch den Punkt \((3{,}6|9{,}6)\). Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Berechnen Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist.

(5 BE)

Der Schattenbereich der gesamten Pyramide auf dem Boden besteht im Modell aus zwei kongruenten Vierecken. Zeichnen Sie diesen Schattenbereich in Abbildung 3 ein und geben Sie die besondere Form der genannten Vierecke an.

(4 BE) 

Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen zunächst mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei 5 % der Pflanzen von Pilzen befallen worden.

Bei einem weiteren solchen Versuch mit \(n\) Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße \(X_n\) die Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass \(X_n\) binomialverteilt ist mit den Parametern \(n\) und \(p = 0{,}05\).

Es werden 15 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

\(E_1\): „Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."

\(E_2\): „Höchstens zwei Pflanzen werden von Pilzen befallen."

\(E_3\): „12 oder 13 Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."

(6 BE)

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\))

(2 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

(5 BE)

Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\).

(3 BE)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt

\[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\]

(3 BE)

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\).

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von \(a\) an.

(3 BE)

Der Graph der Funktion \(f_0\) ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse an.

(2 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten von \(T\).

(3 BE) 

Für jeden positiven Wert von \(a\) bilden der Hochpunkt \((v|f_a(v))\) des Graphen von \(f_a\), der Punkt \(\left(0|\frac{2}{v}\right)\), der Koordinatenursprung und der Punkt \((v|0)\) die Eckpunkt eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von \(a\), für den das Viereck den Flächeninhalt 49 hat.

(6 BE)

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)