Lineare (Un)Abhängigkeit von zwei Vektoren

Die Abbildung zeigt den Würfel \(ABCDEFG\) mit \(A(0|0|0)\) und \(G(5|5|5)\) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten \(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\) und \(L(1|0|5)\).

Zeichnen Sie das Viereck \(IJKL\) in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

(4 BE)

Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.

(2 BE)

Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(4 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist.

(3 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist.

(3 BE)

Spiegelt man die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) am Symmetriezentrum \(Z(3|3|3)\), so erhält man die Punkte \(A'\), \(B'\) bzw. \(C'\).

Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf dieser Ebene steht.

(3 BE)

Gegeben sind die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\) sowie die Punkte \(P(1|0|2)\) und \(Q(5|2|6)\).

Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q\) senkrecht zur Ebene \(E\) verläuft.

(2 BE)

Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \([MS]\) mit \(S\,(4{,}5|0|4{,}5)\) dargestellt. Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht, und berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.

(3 BE)

Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

(7 BE)