Fallunterscheidung

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) und geben Sie die Lage und die Art der lokalen Extrempunkte von \(G_{f}\) an.

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher betrachtetet Funktion \(f\).

Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Nullstellen von \(h_{k}\) an.

(2 BE)

Für welche Füllhöhen \(x\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.

(6 BE)