Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße

Die Zufallsgröße \(Z\), die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl" bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert 2 und es gilt analog \(P(Z = 2) = \frac{3}{8}\). Berechnen Sie die Varianz von \(Z\), vergleichen Sie diese mit der Varianz von \(Y\) und beschreiben Sie davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\) und \(Y\).

(2 BE)

Für einen bestimmten Wert \(n \in \{1;2;3;\dots\}\) werden für \(p \in \;]0;1[\) die binomialverteilten Zufallsgrößen \(Z_p\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit \(p = 0{,}5\) die größte Varianz hat.

(3 BE)